2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及正确答案！
下边以文字的形式为大家带来全部题目及其答案！
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】（C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）.
(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，，从而原方程变为，再将特解代入得.故选（A）
(3) 若级数条件收敛，则 与依次为幂级数的 ( )
(A) 收敛点，收敛点
(B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点
(D) 发散点，发散点
【答案】（B）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.
【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）.
(4) 设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】（B）
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出D的图形，
所以，故选（B）
(5) 设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】，
由，故或，同时或。故选（D）
(6)设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，其中 ，若 ，则在正交变换下的标准形为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(A)
【解析】由，故.且
.
所以。选（A）
(7) 若A,B为任意两个随机事件，则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(C)
【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) .
(8)设随机变量不相关，且，则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
【解析】
，选(D) .
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
【答案】
【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.
【解析】方法一：
方法二：
(10)
【答案】
【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
【解析】
(11)若函数由方程确定，则
【答案】
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令，则
又当时，即.
所以，因而
(12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则
【答案】
【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.
【解析】由轮换对称性，得
，
其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以
(13) 阶行列式
【答案】
【解析】按第一行展开得
(14)设二维随机变量服从正态分布，则
【答案】
【解析】由题设知，，而且相互独立，从而
.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分) 设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.
【答案】
【解析】法一：原式
即
法二：
因为分子的极限为0，则
，分子的极限为0，
，
(16)(本题满分10分) 设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.
【答案】.
【解析】设在点处的切线方程为：
令，得到，
故由题意，，即，可以转化为一阶微分方程，
即，可分离变量得到通解为：，
已知，得到，因此；
即.
(17)(本题满分10分)
已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.
【答案】3
【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.
，
故，模为，
此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为对
在约束条件下的最大值.
构造函数：
，得到.
所以最大值为.
(18)(本题满分 10 分)
（I）设函数可导，利用导数定义证明
（II）设函数可导，，写出的求导公式.
【解析】（I）
（II）由题意得
(19)(本题满分 10 分)
已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.
【答案】
【解析】由题意假设参数方程，
(20) (本题满11分)
设向量组内的一个基，，，.
（I）证明向量组为的一个基;
（II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.
【答案】
【解析】(I)证明：
故为的一个基.
（II）由题意知，
即
即
即，得k=0
(21) (本题满分11 分)
设矩阵相似于矩阵.
(I) 求的值；
（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵..
【解析】(I)
(II)
的特征值
时的基础解系为
时的基础解系为
A的特征值
令，
(22) (本题满分11 分) 设随机变量的概率密度为
对 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记为观测次数.
(I)求的概率分布;
(II)求
【解析】(I) 记为观测值大于3的概率，则，
从而，
为的概率分布；
(II)
记，则，
，
，
所以，
从而.
(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：
其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.
(I)求的矩估计量.
(II)求的最大似然估计量.
【解析】(I) ，
令，即，解得为的矩估计量；
(II) 似然函数，
当时，，则.
从而，关于单调增加，
所以为的最大似然估计量.
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