logistic回归和广义线性模型

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logistic回归：

Logistic回归的应用条件是：

① 独立性。各观测对象间是相互独立的；

② LogitP与自变量是线性关系；

③ 样本量。经验值是病例对照各50例以上或为自变量的5-10倍（以10倍为宜），不过随着统计技术和软件的发展，样本量较小或不能进行似然估计的情况下可采用精确logistic回归分析，此时要求分析变量不能太多，且变量分类不能太多；

④ 当队列资料进行logistic回归分析时，观察时间应该相同，否则需考虑观察时间的影响（建议用Poisson回归）。

logistic回归一般是用来解决二元分类问题，它是从贝努力分布转换而来的

　　hθ(x) = g(z)=1/1+e-z ;z=θTx

　　最大似然估计L(θ) = p(Y|X;θ)

　　　　　　　　　　 =∏p(y(i)|x(i);θ)

　　　　　　　　　　 =∏(hθ(x))y(i)(1-hθ(x))1-y(i)

     l(θ) = logL(θ)

           =Σy(i)loghθ(x(i))+(1-y(i))log(1-hθ(x(i)))

　  θ的优化目的就是让最大似然估计最大，用梯度上升法求θ

　　θj=θj+α∂l(θ)/∂θj=θj+α(y(i)-hθ(x(i)))x(i)j

　　logistic回归用梯度上升法求得的θ的迭代公式看起来跟线性回归很像，但这跟线性回归是有本质区别的

　　1.线性回归是由高斯分布推导而来，而logistic回归是由贝努力分布推导而来

　　2.二种回归的最大似然估计是不一样的，只不过求完导后的结果看似相同

      3.二种回归hθ(x)是不同的

广义线性模型：

广义线性模型是线性模型的扩展，其特点是不强行改变数据的自然度量，数据可以具有非线性和非恒定方差结构[59]，主要是通过联结函数g()(link function)，建立响应变量Y的数学期望值 与线性组合的预测变量P之间的关系：。与线性模型相比，GLM模型中Y的分布可以是任何形式的指数分布（如高斯分布、泊松分布、二项式分布），联结函数可以是任何单调可微函数（如对数函数logarithm 或逻辑函数logit）。Y的方差通过方程函数 依赖于其数学期望值 ，这里 ，为比例（或者称为离差）参数[57-58,60]。这些优点使得GLM模型可以处理非正态分布的响应变量，同时可包含定性、半定量的预测变量；Y通过连接函数g(E(Y))与线性预测因子P建立联系，不仅确保线性关系，且可保证预测值落在响应变量的变幅内，并可解决数据过度离散的问题，从而使GLM逐渐成为植被-环境关系研究的重要模型，并得到越来越多的关注。

　　之前已经写了线性回归和logistic回归，基本的形式都是先设定hθ(x)，然后求最最大似然估计L(θ),然后求出l(θ)=logL(θ),然后用梯度上升法或其它方法求出θ，二种回归如此想你的原因就是在于它都都是广义线性模型里的一员。

　　如果一个概念分布可以表示成p(y;η)=b(y)exp(ηTT(y)-a(η))时，那么这个概率分布可以称之为指数分布

　　贝努力分布转换为指数分布：p(y;ø)=øy(1-ø)1-y

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =exp(log(øy(1-ø)1-y))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =exp(ylogø+(1-y)log(1-ø))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =exp((log(ø/(1-ø)))y+log(1-ø))

　　根据上面指数分布的公式可得出：

　　　　　　　　　　　　　　　  b(y)=1

　　　　　　　　　　　　　　　  η=logø/(1-ø);ø=1/(1+e-η)

　　　　　　　　　　　　　　　  T(y) = y

　　　　　　　　　　　　　　　  a(η)=-log(1-ø)

　　高斯分布转换为指数(因为σ的取值对最后的结果没影响，所以设σ2=1)：p(y;μ)=(1/2π)exp(-1/2(y-μ)2);2π上有根号

                                          =(1/2π)exp(-1/2y2).exp(μy-1/2μ2)

　　根据上面指数分布的公式可得出：

　　　　　　　　　　　　　　　 b(y)=(1/2π)exp(-1/2y2);2π上有根号

                                           η=μ

                                           T(y) = y

                                           a(η)=1/2μ2

　　广义线性模型的三步是：
　　　　　　　　1.将y|x;θ变换成以η为参数的指数分布的形式

　　　　　　　   2.因为h(x)=E[y|x],所以能过第1步的变换可以得到E[y|x]与η的对应关系(对于logistic回归，期望值是ø，ø与η的关系是ø=1/(1+e-η)；对于线性回归，期望值是μ，μ与η的关系是η=μ)

　　　　　　　　3.设定η=θTx(如果η是一个向量值的话，那么ηi=θiTx)